PYTHAGORAS

 PYTHAGORAS

         Teorema Phytagoras merupakan sebuah aturan matematika yang bisa dipakai dalam menentukan panjang salah satu sisi dari suatu segitiga siku-siku.
Yang perlu kalian ingat dari teorema ini yaitu teorema hanya berlaku untuk segitiga siku-siku. Maka dari itu tidak dapat digunakan untuk menentukan sisi dari sebuah segitiga lain yang tidak berbentuk siku-siku.

1)      Sifat Teorema Pythagoras

            Terdapat dua sifat yang ada dalam teorema pythagoras,  diantaranya yaitu:

1. Hanya untuk segitiga siku-siku
2. Minimal 2 sisinya dapat diketahui terlebih dahulu.

2)      Karakteristik Suatu Segitiga

1. Apabila kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat sisi yang lain, maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku.
2. Apabila kuadrat sisi miring < jumlah kuadrat sisi yang lain, maka segitiga tersebut merupakan segitiga lancip.
3. Apabila kuadrat sisi miring > jumlah kuadrat sisi yang lain, maka segitiga tersebut merupakan segitiga tumpul.

MENGIDENTIFIKASI SEBUAH SEGITIGA SIKU-SIKU

memberi nama sisi segitiga untuk diingat

Apabila kalian perhatikan gambar di atas, maka dapat kalian jumpai tiga buah sisi yang telah kami beri nama pada setiap sisinya.
Sisi miring yang disingkat sebagai (SM), sisi alas yang disingkat sebagai (SA), serta sisi tegak yang disingkat sebagai (ST).

Dalam gambar di atas bisa kita jumpai jika sisi miring berada tepat di depan siku-siku dari sebuah segitiga tersebut.

Pada gambar di atas sisi miring yaitu sisi r, sisi alasnya yaitu sisi p, serta sisi tegaknya yaitu sisi q.

1)      RUMUS TEOREMA PYTHAGORAS

Rumus Phytagoras merupakan rumus yang diperoleh dari materi Teorema Phytagoras.Teorema Phytagoras sendiri seperti yang telah disebutkan di atas merupakan teorema yang menerangkan tentang hubungan antara sisi-sisi yang ada dalam sebuah segitiga siku-siku. Teorema ini pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikiawan yang berasal dari Yunani bernama Phytagoras. Adapun bunyi atau dalil Teorema Phytagoras yaitu sebagai berikut:

Pada suatu segitiga siku-siku, kuadrat dari sisi terpanjang yaitu sama dengan hasil jumlah dari kuadrat sisi-sisi penyikunya.

Dari teorema tersebut bisa kita bikin suatu rumus yang bisa kita gambarkan seperti di bawah ini:

Sebagai contoh, diketahui sebuah segitiga dengan siku-siku di B. Apabila panjang sisi miring (hipotenusa) yaitu c serta panjang sisi-sisi penyikunya (sisi selain sisi miring) yaitu a dan b. Maka teorema Phytagoras di atas bisa kita rumuskan seperti berikut ini:
 

Rumus Phytagoras

c² = a²  + b²

 Keterangan:

c = sisi miring
a = tinggi
b = alas
Rumus Phytagoras pada umumnya dipakai dalam mencari panjang sisi miring segitiga siku-siku seperti berikut ini:

Kuadrat sisi AC = kuadrat sisi AB + kuadrat sisi BC. atau AC² = AB² + BC²

Rumus untuk mencari panjang sisi alas yaitu:

b² = c²  – a²

Rumus untuk mencari sisi samping atau tinggi segitiga yaitu:

a² = c²  – b²

Rumus untuk mencari sisi miring segitiga siku-siku yaitu:

c² = a²  + b²

2)      KEGUNAAN DALIL TEOREMA PHYTAGORAS

Selain dimanfaatkan dalam menentukan panjang salah satu sisi segitiga yang tidak diketahui, dalil atau bungi dari Pythagoras ini juga bisa dipakai dalam beberapa perhitungan, diantaranya yaitu:

1. Menentukan panjang diagonal persegi
2. Menentukan diagonal ruang kubus dan juga balok

Berikut akan kami berikan penjelasan dari masing-masing kegunaanya:

1.       Menentukan panjang diagonal persegi

        Diberikan suatu persegi panjang ABCD seperti yang terlihat pada gambar di bawah ini:

Garis AC merupakan garis diagonal persegi. Apabila panjang sisi-sisi persegi tersebut diketahui, maka panjang diagonalnya bisa kita hitung dengan menggunakan dalil Pythagoras seperti berikut:

AC² = AB² + BC²

AC² = AD² + CD² 

Contoh soal: 

1. Sebuah persegi ABCD mempunyai panjang 8 cm dan lebar 6 cm. Tentukanlah panjang diagonal dari persegi tersebut.

Jawab: 

Diketahui:

• panjang = p = 8 cm
• lebar = L = 6 cm

Ditanya:

• diagonal = d = … ?

Berdasarkan dalil Pythagoras, maka:

⇒ d² = p² + L²
⇒ d² = 8² + 6²
⇒ d² = 64 + 36
⇒ d² = 100
⇒ d = √100
⇒ d = 10 cm

Sehingga, panjang diagonal persegi pada soal di atas adalah 10 cm.

2. Menentukan diagonal ruang kubus dan juga balok 

Diberikan suatu balok ABCD.EFGH seperti yang terlihat pada gambar di bawah ini:

Garis AG merupakan salah satu diagonal ruang dalam balok tersebut. Panjang diagonal ruang AG bbisa kita hitung erdasarkan dalil Pythagoras seperti berikut ini:

AG² = AC² + CG²

Keterangan: 
AG = diagonal ruang
CG = tinggi balok
AC = diagonal bidang alas
Kemudian perhatikan alas balok yakni persegi ABCD. Berdasarkan dari bunyi Pythagoras, panjang diagonal bidang AC bisa kita hitung dengan menggunakan rumus berikut:

AC² = AB² + BC²

Keterangan:
AB = panjang balok
BC = lebar balok
Sebab, AC² = AB² + BC², maka rumus panjang diagonal ruang AG bisa kita ubah menjadi:
⇒ AG² = AC² + CG²
⇒ AG² = AB² + BC² + CG²
⇒ AG² = p² + L² + t²
Sehingga, rumusnya akan menjadi:

d_r² = p² + L² + t²

Keterangan:
d_r = diagonal ruang
p = panjang balok
L = lebar balok
t = tinggi balok
Contoh soal: 
Suatu balok memiliki panjang, lebar, dan tinggi berturut-turut yaitu 12 cm, 9 cm, dan 8 cm. Tentukanlah panjang salah satu diagonal ruangnya!
Jawab: 
Diketahui:

• p = 12 cm
• L = 9 cm
• t = 8cm

Ditanya:

• d_r = … ?

Berdasarkan dari bunyi atau dalil Pythagoras, maka:
⇒ d_r² = p² + L² + t²
⇒ d_r² = 12² + 9sup>2 + 8²
⇒ d_r² = 144 + 81 + 64
⇒ d_r² = 289
⇒ d_r = √289
⇒ d_r = 17 cm
Sehingga, panjang diagonal ruangnya yaitu 17 cm.

MENENTUKAN PANJANG SISI SEGITIGA SIKU-SIKU. SECARA MATEMATIS, RUMUS DARI PHYTAGORAS BIASA DIPAKAI UNTUK MENENTUKAN PANJANG SISI DARI SUATU SEGITIGA SIKU-SIKU.

Contoh Soal Pythagoras (Pitagoras) dan Penyelesaiannya

Soal

Diketahui segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di B yang digambarkan sebagai berikut:

Tentukan panjang sisi miring AC pada gambar di atas!
Jawab:
Sebab segitiga di atas adalah segitiga siku-siku, maka berlaku rumus Phytagoras seperti betikut ini:
AC² = AB² + BC²
AC² = 8² + 6²
AC² = 64 + 36
AC² = 100
AC  =  √100
AC  = 10
Sehingga, panjang sisi AC dalam segitiga siku-siku tersebut yaitu 10 cm.

3) MENENTUKAN JENIS SEGITIGA JIKA DIKETAHUI PANJANG SISINYA

Untuk menentukan jenis segitiga dengan menggunakan teorema Phytagoras, maka kita harus membandingkan kuadrat dari sisi terpanjang dengan hasil jumlah dari kuadrat sisi-sisi penyikunya.
Sebagai contoh, diketahui sebuah segitiga siku-siku dengan panjang sisi miringnya (sisi terpanjang) yaitu c. Serta panjang sisi-siki penyikunya yaitu a dan b, sehingga:

• Apabila c² < a²  + b², maka segitiga tersebut termasuk segitiga lancip;
• Apabila c² = a²  + b², maka segitiga tersebut termasuk segitiga siku-siku;
• Apabila c² > a²  + b², maka segitiga tersebut termasuk segitiga tumpul.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini:
Soal
Suatu segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku berada di B. Tentukan jenis segitiga tersebut jika telah diketahui panjang sisi AB = 8 cm, BC = 15 cm, dan AC = 20 cm!
Jawab:
Misalnya a merupakan sisi terpanjang dan b, c merupakan dua sisi lainnya, maka dapat kita ketahui jika:

• c = 20 cm
• b = 8 cm
• a = 15 cm.

c² = 20² = 400
a²  + b² = 8²  + 15² = 64 + 225 = 289
Sebab,
c² > a²  + b²
400 > 289
Sehingga, segitiga ABC termasuk ke dalam segitiga tumpul.

4) TRIPEL PHYTAGORAS

Perhatikan beberapa contoh bilangan yang ada di bawah ini:
3, 4, dan 5
6, 8, dan 10
5, 12, dan 13
Beberapa bilangan yang disebutkan di atas meripakan bilangan-bilangan yang memenuhi aturan rumus Phytagoras.

1)      Tripel Phytagoras

Tripel Phytagoras merupakan berbagai bilangan bulat positif yang kuadrat bilangan terbesarnya mempunyai nilai yang sama dengan jumlah dari kuadrat bilangan-bilangan lainnya. Pada umumnya, Tripel Phytagoras terbagi menjadi dua macam, yakni Tripel Phytagoras Primitif dan Tripel Phytagoras Non-Primitif. Tripel Phytagoras Primitif merupakan Tripel Phytagoras yang di mana seluruh bilangannya mempunyai FPB sama dengan 1.

Sebagai contoh, dari bilangan Tripel Phytagoras Primitif yaitu antara lain:

3, 4, dan 5 dan  5, 12, 13.

Sementara untuk Tripel Phytagoras Non-Primitif merupakan Tripel Phytagoras di mana bilangannya mempunyai FPB yang tidak hanya sama dengan satu.

Sebagai contoh yaitu:6, 8, dan 10; 9, 12, dan 15; 12, 16, dan 20; dan juga 15, 20, dan 25.

a – b – c
3 – 4 – 5
5 – 12 – 13
6 – 8 – 10
7 – 24 – 25
8 – 15 – 17
9 – 12 – 15
10 – 24 – 26
12 – 16 – 20
12 – 35 – 37
13 – 84 – 85
14 – 48 – 50
15 – 20 –  25
15 – 36 – 39
16 – 30 – 34
17 – 144 – 145
19 – 180 – 181
20 – 21 – 29
20 – 99 – 101

Pola angka pythagoras (Triple pythagoras) berfungi guna menyelesaikan soal pythagoras dengan mudah, berikut pola angka (triple pythagoras) tersebut yaitu:

Dan masih banyak yang lainnya.

     Keterangan:
     a = tinggi segitiga
     b = alas segitiga
     c = sisi miring

     5) Cara menentukan bilangan tripel pythagoras:
   
          Apabila a dan b bilangan bulat positif dan a > b, maka tripel pythagoras bisa kita cari dengan              menggunakan rumus seperti berikut ini:

2ab,a² – b², a² + b²

         Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel di bawah ini:

6)      APLIKASI RUMUS PHYTAGORAS DALAM PERMASALAHAN SEHARI-HARI

Rumus Phytagoras banyak kita jumpai dalam berbagai kegiatan sehari-hari. Berikut ini akan kami berikan ulasan mengenai beberapa aplikasi rumus Phytagoras tersebut.

Contoh Soal Menentukan Jarak Kaki Tangga dengan Tembok

Perhatikan baik-baik gambar di bawah ini:

Diketahui suatu tangga disandarkan pada tembok. Apabila panjang tangga yaitu 5 m serta tinggi temboknya yaitu 4 m. Maka hitunglah jarak antara kaki tangga dengan temboknya!

Jawab:

Misalnya jarak antara kaki tangga dengan tembok yaitu x, maka untuk menentukan nilai x bisa kita pakai Rumus Phytagoras seperti berikut ini:

Diketahui:

• sisi miring atau c = 5m
• tinggi atau b = 4m

Ditanyakan:

• alas atau x?

x² = c²  – b²
c² = 5² – 4²
c² = 25 – 16
c² = 9
c = √9
c = 3

Sehingga, jarak antara kaki tangga dengan tembok yaitu 3 m.